Trigonometria Esempi

$\sin (θ) < 0$ , $\tan (θ) < 0$

Passaggio 1

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ < \arcsin (0)$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$θ < 0$

Passaggio 1.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - 0$

Passaggio 1.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = π$

Passaggio 1.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.6

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.7

Consolida le risposte.

$θ = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Passaggio 1.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < θ < π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < θ < π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$θ = 2$

Passaggio 1.9.1.2

Sostituisci $θ$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2) < 0$

Passaggio 1.9.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 1.9.2

Testa un valore sull'intervallo $π < θ < 2 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $π < θ < 2 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$θ = 5$

Passaggio 1.9.2.2

Sostituisci $θ$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (5) < 0$

Passaggio 1.9.2.3

Il lato sinistro di $- 0.95892427$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 1.9.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < θ < π$ Falso

$π < θ < 2 π$ Vero

$0 < θ < π$ Falso

$π < θ < 2 π$ Vero

Passaggio 1.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ < \arctan (0)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$θ < 0$

Passaggio 2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = π + 0$

Passaggio 2.4

Somma $π$ e $0$ .

$θ = π$

Passaggio 2.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.6

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

Consolida le risposte.

$θ = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < θ < π$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < θ < π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < θ < π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$θ = 2$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $θ$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2) < 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.2

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < θ < π$ Falso

Passaggio 2.10

Poiché nessun numero rientra nell'intervallo, questa diseguaglianza non ha soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Traccia ogni grafico sul medesimo sistema di coordinate.

$\sin (θ) < 0$

$\tan (θ) < 0$

Passaggio 4