Trigonometria Esempi

$\sqrt{3} \csc (θ) - 2 = 0$ , $[0, 2 π)$

Passaggio 1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3} \csc (θ) = 2$

Passaggio 2

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\csc (θ)$ per $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.1

Il valore esatto di $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 5

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 6

Semplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

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Passaggio 9.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

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Passaggio 9.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

Passaggio 9.1.2

Semplifica.

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Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

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Passaggio 9.1.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{π}{3} + 0 π$

Passaggio 9.1.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $\frac{π}{3}$ e $0$ .

$\frac{π}{3}$

Passaggio 9.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 9.2

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

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Passaggio 9.2.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Passaggio 9.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $\frac{2 π}{3}$ e $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$