Trigonometria Esempi

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Passaggio 4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Passaggio 5

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.1.2

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 5.1.5

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{11 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{11 π}{6}$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{11 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\cos (2 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\cos (2 θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

Passaggio 8.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Passaggio 8.1.2.2

Somma $\frac{π}{12}$ e $0$ .

$\frac{π}{12}$

Passaggio 8.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Passaggio 8.2

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (0)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{11 π}{12} + 0$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $\frac{11 π}{12}$ e $0$ .

$\frac{11 π}{12}$

Passaggio 8.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{11 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}$

Passaggio 8.3

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Passaggio 8.3.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 8.3.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Passaggio 8.3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Passaggio 8.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Passaggio 8.3.2.4.2

Somma $π$ e $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Passaggio 8.3.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{13 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Passaggio 8.4

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (1)$

Passaggio 8.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{11 π}{12} + π$

Passaggio 8.4.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 8.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Passaggio 8.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{11 π + π \cdot 12}{12}$

Passaggio 8.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{11 π + 12 \cdot π}{12}$

Passaggio 8.4.2.4.2

Somma $11 π$ e $12 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Passaggio 8.4.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{23 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{23 π}{12}$