Trigonometria Esempi

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Passaggio 1

Sostituisci $2 \cos^{2} (x)$ con $2 (1 - \sin^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Sottrai $1$ da $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

Passaggio 5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 u^{2} - u + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- u$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 u^{2}) - u$ .

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 7

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 10

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 12.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 12.4

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 12.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 13.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 13.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 13.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 13.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 13.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Passaggio 16.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Passaggio 16.1.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Passaggio 16.1.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Passaggio 16.1.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Passaggio 16.1.2.1.1.2.4

Dividi $2 π \cdot (0)$ per $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Passaggio 16.1.2.1.2

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Passaggio 16.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Passaggio 16.1.2.2

Somma $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{π}{6}$

Passaggio 16.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 16.2

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 16.2.2.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 16.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 16.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 16.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Passaggio 16.2.2.5.2

Somma $π$ e $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Passaggio 16.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 16.3

Collega $2$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Collega $2$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Passaggio 16.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 16.3.2.2

Per scrivere $\frac{4 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 16.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{4 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 16.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 16.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 16.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Passaggio 16.3.2.5.2

Somma $π$ e $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Passaggio 16.3.2.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.6.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Passaggio 16.3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Passaggio 16.3.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Passaggio 16.3.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 16.3.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$