Trigonometria Esempi

$(1.8, - 2)$ , $(3.8, - 1.4)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1.8 \cdot 3.8 - 2 \cdot - 1.4$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $1.8$ per $3.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 - 2 \cdot - 1.4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1.4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 + 2.8$

Passaggio 2.2.2

Somma $6.84$ e $2.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.64$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{1.8}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $1.8$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + 4}$

Passaggio 3.2.3

Somma $3.24$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7.24}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{3.8}^{2} + {(- 1.4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $3.8$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + {(- 1.4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 1.4$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + 1.96}$

Passaggio 4.2.3

Somma $14.44$ e $1.96$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16.4}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24} \sqrt{16.4}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24 \cdot 16.4}})$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $7.24$ per $16.4$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}})$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ per $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}} \cdot \frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}})$

Passaggio 6.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ per $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736} \sqrt{118.736}})$

Passaggio 6.3.2

Eleva $\sqrt{118.736}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} \sqrt{118.736}})$

Passaggio 6.3.3

Eleva $\sqrt{118.736}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} {\sqrt{118.736}}^{1}})$

Passaggio 6.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{2}})$

Passaggio 6.3.6

Riscrivi ${\sqrt{118.736}}^{2}$ come $118.736$ .

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Passaggio 6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{118.736}$ come ${118.736}^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{({118.736}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{1}})$

Passaggio 6.3.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{118.736})$

Passaggio 6.4

Moltiplica $9.64$ per $\sqrt{118.736}$ .

$θ = \arccos (\frac{105.04327196}{118.736})$

Passaggio 6.5

Dividi $105.04327196$ per $118.736$ .

$θ = \arccos (0.88467922)$

Passaggio 6.6

Calcola $\arccos (0.88467922)$ .

$θ = 27.78792807$