Trigonometria Esempi

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sin (x)}$ come ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Semplifica.

$\sin (x) = 0^{2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 2.3.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.3.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.3.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.3.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.3.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $\sqrt{\sin (x)} = 0$ e risolvendo.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{\sin (x)}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sin (x) < 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x < \arcsin (0)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x < 0$

Passaggio 4.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 4.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 4.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Passaggio 4.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 4.9.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 4.9.1.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2) < 0$

Passaggio 4.9.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.9.2

Testa un valore sull'intervallo $π < x < 2 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $π < x < 2 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 4.9.2.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (5) < 0$

Passaggio 4.9.2.3

Il lato sinistro di $- 0.95892427$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.9.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Vero

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Vero

Passaggio 4.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6