Trigonometria Esempi

$\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$5 r^{2} + 23 r - 10 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 10 = - 50$ e la cui somma è $b = 23$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $23$ da $23 r$ .

$5 r^{2} + 23 (r) - 10 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $23$ come $- 2$ più $25$ .

$5 r^{2} + (- 2 + 25) r - 10 = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 r^{2} - 2 r + 25 r - 10 = 0$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 r^{2} - 2 r) + 25 r - 10 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$r (5 r - 2) + 5 (5 r - 2) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 r - 2$ .

$(5 r - 2) (r + 5) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $5 r - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $5 r - 2$ uguale a $0$ .

$5 r - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $5 r - 2 = 0$ per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 r = 2$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 r = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 r = 2$ .

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.4

Imposta $r + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $r + 5$ uguale a $0$ .

$r + 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = - 5$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 r - 2) (r + 5) = 0$ vera.

$r = \frac{2}{5}, - 5$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$9 r^{2} + 43 r - 10 = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot - 10 = - 90$ e la cui somma è $b = 43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $43$ da $43 r$ .

$9 r^{2} + 43 (r) - 10 = 0$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi $43$ come $- 2$ più $45$ .

$9 r^{2} + (- 2 + 45) r - 10 = 0$

Passaggio 4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 r^{2} - 2 r + 45 r - 10 = 0$

Passaggio 4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 r^{2} - 2 r) + 45 r - 10 = 0$

Passaggio 4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$r (9 r - 2) + 5 (9 r - 2) = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 r - 2$ .

$(9 r - 2) (r + 5) = 0$

Passaggio 4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Passaggio 4.3

Imposta $9 r - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta $9 r - 2$ uguale a $0$ .

$9 r - 2 = 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi $9 r - 2 = 0$ per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 r = 2$

Passaggio 4.3.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 r = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 r = 2$ .

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{2}{9}$

Passaggio 4.4

Imposta $r + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta $r + 5$ uguale a $0$ .

$r + 5 = 0$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = - 5$

Passaggio 4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 r - 2) (r + 5) = 0$ vera.

$r = \frac{2}{9}, - 5$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$45 r^{2} - 23 r + 4 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 45$ , $b = - 23$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot 4)}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $- 23$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 180$ per $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Sottrai $720$ da $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $- 191$ come $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (191)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.1

Eleva $- 23$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 180$ per $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.4.1.3

Sottrai $720$ da $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.4.1.4

Riscrivi $- 191$ come $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (191)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Passaggio 6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Eleva $- 23$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 180$ per $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.5.1.3

Sottrai $720$ da $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.5.1.4

Riscrivi $- 191$ come $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (191)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Passaggio 6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Passaggio 6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}, \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Passaggio 7

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$r = - 5, r = \frac{2}{9}, r = \frac{2}{5}$

Passaggio 8