Trigonometria Esempi

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cot (x)$ e $b = 1$ .

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\cot (2 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.3

$\cot (2 x)$ e $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\cot (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.4

Espandi $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.5.1.1

Moltiplica $- \cot (x) \cot (x)$ .

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Passaggio 2.5.5.1.1.1

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.1.1.2

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.1.2

Moltiplica $- \cot (x) \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.5.5.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.1.2.2

Moltiplica $\cot (x)$ per $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.1.3

Riscrivi $- 1 \cot (x)$ come $- \cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.2

Sottrai $\cot (x)$ da $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 2.5.5.3

Somma $- \cot^{2} (x)$ e $0$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \cot (x) = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cot (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cot (x) = 0$ .

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Dividi $\cot (x)$ per $1$ .

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\cot (x) = 0$

Passaggio 4.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (0)$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.4

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 4.5

Semplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 4.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 4.5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.5.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 4.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 4.5.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.6

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

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Passaggio 4.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.7

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta l'argomento in $\cot (2 x)$ in modo che sia uguale a $π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π n$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π n$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π n}{2}$

Passaggio 7

Imposta l'argomento in $\cot (x)$ in modo che sia uguale a $π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9