Trigonometria Esempi

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sin (3 t) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 t = \arcsin (0)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$3 t = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = 0$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 t}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$t = 0$

Passaggio 2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$3 t = π - 0$

Passaggio 2.5

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 t = π + 0$

Passaggio 2.5.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$3 t = π$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = π$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.6

Trova il periodo di $\sin (3 t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 2.7

Il periodo della funzione $\sin (3 t)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.8

Consolida le risposte.

$t = \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 + \cos (3 t) = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (3 t) = - 1$

Passaggio 4.2

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$3 t = \arccos (- 1)$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$3 t = π$

Passaggio 4.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = π$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{π}{3}$

Passaggio 4.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$3 t = 2 π - π$

Passaggio 4.6

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$3 t = π$

Passaggio 4.6.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 t = π$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 4.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{π}{3}$

Passaggio 4.7

Trova il periodo di $\cos (3 t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 4.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.8

Il periodo della funzione $\cos (3 t)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${t | t = \frac{π n}{3}, t = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6