Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (2 x) - 2 \sin (2 x) = - 1$

Passaggio 1

Sostituisci $u$ a $\sin (2 x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u = - 1$

Passaggio 2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Passaggio 3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 3.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4

Poni $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 6

Sostituisci $\sin (2 x)$ a $u$ .

$\sin (2 x) = 1$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (1)$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Semplifica.

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Passaggio 11.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 11.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 2$ .

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Passaggio 11.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 11.1.4.2

Sottrai $π$ da $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 11.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

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Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 12.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 13

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$