Trigonometria Esempi

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Riordina i termini.

$- \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 3.1.2

Riordina $2 \sin^{2} (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $1$ da $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$- \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$- \cos^{2} (x) - 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.1.6

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.1.7

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\cos (x) (- \cos (x) - \sin (x)) - 2 \sin (x) (- \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $- \cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $- \cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $- \cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.3

Frazioni separate.

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.6

Frazioni separate.

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 5.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$- 1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 5.2.10

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = 1$

Passaggio 5.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 5.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 5.2.13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.14

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 5.2.15

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.15.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 5.2.15.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 5.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.17

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 5.2.17.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 5.2.17.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.17.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.17.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.17.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.2.17.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.17.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.2.17.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.17.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.18

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x) - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x) - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.5

Dividi $- 2$ per $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.6

Frazioni separate.

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 6.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0$

Passaggio 6.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \tan (x) = - 1$

Passaggio 6.2.11

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.11.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.11.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.11.2.1.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.11.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.1

Calcola $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Passaggio 6.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Passaggio 6.2.15

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.15.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Passaggio 6.2.15.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Passaggio 6.2.15.3

Somma $3.14159265$ e $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Passaggio 6.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 6.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $0.4636476 + π n$ e $3.60524026 + π n$ in $0.4636476 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n$ , per qualsiasi intero $n$