Trigonometria Esempi

$\cos (2 x) - \sqrt{2} \sin (x) = 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (2 x) - \sqrt{2} \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{2} \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{2} \sin (x) - 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2 \sin^{2} (x)$ da $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $\sin (x)$ da $- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{2} \sin (x)$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $\sin (x)$ da $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sqrt{2} \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2})$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $- 2 \sin (x) - \sqrt{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $- 2 \sin (x) - \sqrt{2}$ uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $- 2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $\sqrt{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = \sqrt{2}$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{2}}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{2}}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 6.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 6.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 6.2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 6.2.8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 6.2.8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.8.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.8.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.2.8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.8.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 6.2.8.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.2.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$