Trigonometria Esempi

$\tan (15)$

Passaggio 1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso, $15$ può essere diviso in $60 - 45$ .

$\tan (60 - 45)$

Passaggio 2

Utilizza la formula di sottrazione della tangente per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Passaggio 3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\tan (60)$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\tan (60)$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Passaggio 7.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.4

Riordina i termini.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 8.5

Eleva $1 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 8.6

Eleva $1 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Passaggio 8.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Passaggio 8.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Passaggio 9

Riscrivi ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10

Espandi $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Passaggio 11.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Passaggio 11.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 11.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Passaggio 11.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Passaggio 11.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.3

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $4 - 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 12.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Passaggio 13

Riscrivi $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ come $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Passaggio 14

Applica la proprietà distributiva.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 15

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 16

Moltiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Passaggio 16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Passaggio 16.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 17

Applica la proprietà distributiva.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 18

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$0.26794919 \dots$