Trigonometria Esempi

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan^{5} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $\tan (x)$ da $- 9 \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ .

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\tan^{4} (x)$ come ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan^{2} (x)$ e $b = 3$ .

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\tan (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 3.2.4

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 3.2.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\tan^{2} (x) + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\tan^{2} (x) + 3$ uguale a $0$ .

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan^{2} (x) = - 3$

Passaggio 4.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.6

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = i \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

Passaggio 4.2.6.2

L'inverso della tangente di $\arctan (i \sqrt{3})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2.7

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

Passaggio 4.2.7.2

L'inverso della tangente di $\arctan (- i \sqrt{3})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2.8

Elenca tutte le soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

Imposta $\tan^{2} (x) - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\tan^{2} (x) - 3$ uguale a $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan^{2} (x) = 3$

Passaggio 5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 5.2.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 5.2.5

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 5.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.5.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.5.4

Semplifica $π + \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.5.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.5.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 5.2.5.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 5.2.5.4.3.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 5.2.5.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.5.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.5.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.6

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Passaggio 5.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- \sqrt{3})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Passaggio 5.2.6.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Passaggio 5.2.6.4.2

L'angolo risultante di $\frac{2 π}{3}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.6.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.6.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Passaggio 5.2.6.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.6.3.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.2.6.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.6.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 5.2.6.6.4.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.8

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Combina $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.8.2

Combina $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{2 π}{3} + π n$ in $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ vera.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$