Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ è indefinita.

$x = - 2, x = 3$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da destra, allora $x = - 2$ è un asintoto verticale.

$x = - 2$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $3$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $3$ da destra, allora $x = 3$ è un asintoto verticale.

$x = 3$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 2, 3$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Passaggio 8.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 16 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 16}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Passaggio 8.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$\frac{x (x^{2} - 16)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Passaggio 8.1.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 4^{2})}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Passaggio 8.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Passaggio 8.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} + 4 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 24}$

Passaggio 8.1.2.1.2

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 (x) + 24}$

Passaggio 8.1.2.1.3

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 4 \cdot 6}$

Passaggio 8.1.2.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6}$

Passaggio 8.1.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x + 6)}$

Passaggio 8.1.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 8.1.2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 8.1.2.2.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + 1 x + 6)}$

Passaggio 8.1.2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $- 2$ più $3$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + (- 2 + 3) x + 6)}$

Passaggio 8.1.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} - 2 x + 3 x + 6)}$

Passaggio 8.1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1.2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x^{2} - 2 x) + 3 x + 6)}$

Passaggio 8.1.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x (- x - 2) - 3 (- x - 2))}$

Passaggio 8.1.2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 2$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x - 2) (x - 3))}$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x - 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.1.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 8.1.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.1.3.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 1 (2)) (x - 3)}$

Passaggio 8.1.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x + 2)) (x - 3)}$

Passaggio 8.1.3.4

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 8.1.3.4.1

Riscrivi $- (x + 2)$ come $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- 1 (x + 2)) (x - 3)}$

Passaggio 8.1.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$

Passaggio 8.1.3.4.3

Riordina i fattori in $- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$ .

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2

Espandi $- x (x + 4) (x - 4)$ .

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Passaggio 8.2.1

Nega $x$ .

$\frac{- x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x (x - 4) - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.6

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot (- 4 x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.7

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.8

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.9

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.10

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.11

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{1 + 1} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.15

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.16

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.18

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{2 + 1} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.19

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.20

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x \cdot x - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.21

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.22

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.23

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.24

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.25

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot x - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.26

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.27

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.28

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.29

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.30

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.31

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.32

Sottrai $4 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 0 + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.33

Somma $0$ e $16 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.3

Espandi $4 (x + 2) (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{(4 x + 4 \cdot 2) (x - 3)}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Passaggio 8.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.5

Sposta $x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.10

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.11

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.12

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 8 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.13

Moltiplica $8$ per $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x - 24}$

Passaggio 8.3.14

Somma $- 12 x$ e $8 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x^{2}$ .

						-	$\frac{x}{4}$
	$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + x^{2} + 6 x$

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

Passaggio 8.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Passaggio 8.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Passaggio 8.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$6$

Passaggio 8.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + x + 6$

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$

Passaggio 8.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
									+	$9 x$	-	$6$

Passaggio 8.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{9 x - 6}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Passaggio 8.15

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{- 9 x + 6}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Passaggio 8.16

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 2, 3$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 10