Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ è indefinita.

$x = - 3, x = 0$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da sinistra e $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da destra, allora $x = - 3$ è un asintoto verticale.

$x = - 3$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 3, 0$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 8.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 8.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 8.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 8.1.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + 3 x$ .

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Passaggio 8.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

Passaggio 8.1.2.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Passaggio 8.1.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.7

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.8

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.9

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $- 1$ per $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.13

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.14

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.19

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.20

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.21

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.22

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.23

Sposta $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.24

Sposta $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.25

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.26

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.27

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.2.28

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

Passaggio 8.3

Espandi $x (x + 3)$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Passaggio 8.3.2

Riordina $x$ e $3$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Passaggio 8.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Passaggio 8.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

Passaggio 8.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 3 x^{2} + 0$

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.9

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

Passaggio 8.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 8.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

Passaggio 8.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} - 9 x + 0$

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Passaggio 8.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

Passaggio 8.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 8.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x - 3$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 3, 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x - 3$

Passaggio 10