Precalcolo Esempi

$\log_{5} (x - 3) + \log_{5} (\log_{5} (10))$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 3) \log_{5} (10))$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - 3 \log_{5} (10))$

Passaggio 3

Semplifica $- 3 \log_{5} (10)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (10^{3}))$

Passaggio 4

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$

Passaggio 5

Riscrivi $\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 5.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Passaggio 5.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\log (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Riscrivi $\log_{5} (10)$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 6.1.1.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\frac{\log (x \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.1.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\log (x \frac{\log (10)}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.2

Il logaritmo in base $10$ di $10$ è $1$ .

$\frac{\log (x \frac{1}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.3

$x$ e $\frac{1}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $\log_{5} (1000)$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 6.1.4.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.4.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000)}{\log (5)})}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.5

Il logaritmo in base $10$ di $1000$ è $3$ .

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Passaggio 6.1.5.1

Riscrivi come un'equazione.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000) = x}{\log (5)})}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.5.2

Riscrivi $\log (1000) = x$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ non è uguale a $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 1000}{\log (5)})}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.5.3

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 10^{3}}{\log (5)})}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.5.4

Poiché le basi sono uguali, le due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{x = 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Passaggio 6.1.5.5

La variabile $x$ è uguale a $3$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Passaggio 6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\log (\frac{x - 3}{\log (5)})}{\log (5)}$