Precalcolo Esempi

$(\log_{4} (12^{3})) (\log_{12} (4^{3}))$

Passaggio 1

Eleva $12$ alla potenza di $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (4^{3})$

Passaggio 2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (64)$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{4} (1728)$ usando la formula del cambiamento di base.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{12} (64)$

Passaggio 3.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{12} (64)$

Passaggio 4

Riscrivi $\log_{12} (64)$ usando la formula del cambiamento di base.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Passaggio 4.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \cdot \frac{\log (64)}{\log (12)}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{\log (1728)}{\log (4)}$ per $\frac{\log (64)}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (1728) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\log (1728)$ come $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ .

$\frac{\log (2^{6} \cdot 3^{3}) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Passaggio 7

Riscrivi $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ come $\log (2^{6}) + \log (3^{3})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\log (64)$ come $\log (2^{6})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (2^{6})}{\log (4) \log (12)}$

Passaggio 9

Espandi $\log (2^{6})$ spostando $6$ fuori dal logaritmo.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (4) \log (12)}$

Passaggio 10

Riscrivi $\log (4)$ come $\log (2^{2})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (2^{2}) \log (12)}$

Passaggio 11

Espandi $\log (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (12)}$

Passaggio 12

Riscrivi $\log (12)$ come $\log (2^{2} \cdot 3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (2^{2} \cdot 3)}$

Passaggio 13

Riscrivi $\log (2^{2} \cdot 3)$ come $\log (2^{2}) + \log (3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Passaggio 14

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Scomponi $2$ da $(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Passaggio 14.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Passaggio 14.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Passaggio 14.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $\log (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \cdot (3)}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Passaggio 15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$\frac{(\log (64) + \log (3^{3})) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Passaggio 15.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{(\log (64) + \log (27)) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Passaggio 15.3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (64 \cdot 27) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Passaggio 15.4

Moltiplica $64$ per $27$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Passaggio 16

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4) + \log (3)}$

Passaggio 16.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4 \cdot 3)}$

Passaggio 16.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (12)}$

Passaggio 17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Riordina $\log (1728)$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot \log (1728)}{\log (12)}$

Passaggio 17.2

Semplifica $3 \cdot \log (1728)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\log (1728^{3})}{\log (12)}$

Passaggio 18

Eleva $1728$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Forma decimale:

$9$