Precalcolo Esempi

$\frac{\log_{3} (a^{3}) - 3 \log_{3} (b)}{\log_{9} (a b^{- 1})}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Semplifica $- 3 \log_{3} (b)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\log_{3} (a^{3}) - \log_{3} (b^{3})}{\log_{9} (a b^{- 1})}$

Passaggio 1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{a^{3}}{b^{3}})}{\log_{9} (a b^{- 1})}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{a^{3}}{b^{3}})}{\log_{9} (a \frac{1}{b})}$

Passaggio 2.2

$a$ e $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{a^{3}}{b^{3}})}{\log_{9} (\frac{a}{b})}$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{3} (\frac{a^{3}}{b^{3}})$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 3.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{9} (\frac{a}{b})}$

Passaggio 3.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{a^{3}}{b^{3}})}{\log (3)}}{\log_{9} (\frac{a}{b})}$

Passaggio 4

Riscrivi $\log_{9} (\frac{a}{b})$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 4.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{a^{3}}{b^{3}})}{\log (3)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{a^{3}}{b^{3}})}{\log (3)}}{\frac{\log (\frac{a}{b})}{\log (9)}}$

Passaggio 5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\log (\frac{a^{3}}{b^{3}})}{\log (3)} \cdot \frac{\log (9)}{\log (\frac{a}{b})}$

Passaggio 6

Combina.

$\frac{\log (\frac{a^{3}}{b^{3}}) \log (9)}{\log (3) \log (\frac{a}{b})}$