Precalcolo Esempi

$(- 1, \frac{π}{8})$

Passaggio 1

Utilizza le formule di conversione per convertire le coordinate polari in coordinate cartesiane.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Passaggio 2

Sostituisci con i valori noti di $r = - 1$ e $θ = \frac{π}{8}$ nelle formule.

$x = (- 1) \cos (\frac{π}{8})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$x = - 1 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$x = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 3.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 4

Riscrivi $- 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ come $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Passaggio 5.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Passaggio 5.3

Cambia $\pm$ in $+$ , poiché il seno è positivo nel primo quadrante.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 5.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 5.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 5.4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.4.5

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 5.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.4.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.4.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 6

Riscrivi $- 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ come $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 7

La rappresentazione rettangolare del punto polare $(- 1, \frac{π}{8})$ è $(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ .

$(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$