Precalcolo Esempi

$(5, \frac{5 π}{12})$

Passaggio 1

Utilizza le formule di conversione per convertire le coordinate polari in coordinate cartesiane.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Passaggio 2

Sostituisci con i valori noti di $r = 5$ e $θ = \frac{5 π}{12}$ nelle formule.

$x = (5) \cos (\frac{5 π}{12})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3

Il valore esatto di $\cos (\frac{5 π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi $\frac{5 π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$x = 5 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.2

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$x = 5 (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.7

Semplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = 5 (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.7.1.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 3.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 4

$5$ e $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 5

Il valore esatto di $\sin (\frac{5 π}{12})$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi $\frac{5 π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Passaggio 5.2

Applica le formule di addizione degli angoli.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 5.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 5.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 5.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.7

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.7.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 5.7.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 5.7.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 5.7.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Passaggio 5.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

Passaggio 6

$5$ e $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Passaggio 7

La rappresentazione rettangolare del punto polare $(5, \frac{5 π}{12})$ è $(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$ .

$(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$