Precalcolo Esempi

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{3 {(x + 10)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{{(x + 10)}^{2}}{\frac{25}{3}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

$k = 0$

$h = - 10$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 10, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{4 + \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{1}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3}{9}}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $25$ per $3$ .

$\sqrt{4 + \frac{75}{9}}$

Passaggio 5.3.4.3

Elimina il fattore comune di $75$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Scomponi $3$ da $75$ .

$\sqrt{4 + \frac{3 (25)}{9}}$

Passaggio 5.3.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\sqrt{4 + \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 + \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 + \frac{25}{3}}$

Passaggio 5.3.5

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3}}$

Passaggio 5.3.6

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{25}{3}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 25}{3}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{12 + 25}{3}}$

Passaggio 5.3.8.2

Somma $12$ e $25$ .

$\sqrt{\frac{37}{3}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{37}{3}}$ come $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.11.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.11.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.3.11.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.11.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.11.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.11.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.11.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.11.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.3.11.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{37 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 5.3.12.2

Moltiplica $37$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{111}}{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 10, 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 10, - 2)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 10, 2), (- 10, - 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 10, \frac{\sqrt{111}}{3})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 10, - \frac{\sqrt{111}}{3})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 10, \frac{\sqrt{111}}{3}), (- 10, - \frac{\sqrt{111}}{3})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3^{1}}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3}{3^{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25 \cdot 3}{9}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.5

Moltiplica $25$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{75}{9}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.6

Elimina il fattore comune di $75$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.6.1

Scomponi $3$ da $75$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{3 (25)}{9}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{25}{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.7

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.8

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{25}{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 25}{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{12 + 25}{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.10.2

Somma $12$ e $25$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37}{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.11

Riscrivi $\sqrt{\frac{37}{3}}$ come $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.12

Moltiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.13.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{\sqrt{37} \sqrt{3}}{3}}{2}$

Passaggio 8.3.1.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.14.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\frac{\sqrt{37 \cdot 3}}{3}}{2}$

Passaggio 8.3.1.14.2

Moltiplica $37$ per $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{111}}{3}}{2}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{111}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{111}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{111}}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{111}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{111}}{6}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{3^{2}}}{\sqrt{111}}}{3}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{3^{2}}}{\sqrt{111}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{3^{2}} \cdot 1}{\sqrt{111} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot 1}{\sqrt{111} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ per $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{9}}{\sqrt{111} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{111}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{9}}{3 \sqrt{111}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{3 \sqrt{111}}$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $\frac{1}{3 \sqrt{111}}$ per $\frac{\sqrt{111}}{\sqrt{111}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} (\frac{1}{3 \sqrt{111}} \cdot \frac{\sqrt{111}}{\sqrt{111}})$

Passaggio 9.3.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{3 \sqrt{111}}$ per $\frac{\sqrt{111}}{\sqrt{111}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 \sqrt{111} \sqrt{111}}$

Passaggio 9.3.6.2

Sposta $\sqrt{111}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 (\sqrt{111} \sqrt{111})}$

Passaggio 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{111}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 ({\sqrt{111}}^{1} \sqrt{111})}$

Passaggio 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{111}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 ({\sqrt{111}}^{1} {\sqrt{111}}^{1})}$

Passaggio 9.3.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 {\sqrt{111}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 {\sqrt{111}}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7

Riscrivi ${\sqrt{111}}^{2}$ come $111$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{111}$ come $111^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 {(111^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 \cdot 111^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 \cdot 111^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 \cdot 111^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 \cdot 111^{1}}$

Passaggio 9.3.6.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{3 \cdot 111}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $3$ per $111$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{333}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\sqrt{111}}{333}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.8.1

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ per $\frac{\sqrt{111}}{333}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{111}}{9 \cdot 333}$

Passaggio 9.3.8.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{5 \sqrt{111 \cdot 3}}{9 \cdot 333}$

Passaggio 9.3.8.3

Moltiplica $111$ per $3$ .

$\frac{5 \sqrt{333}}{9 \cdot 333}$

Passaggio 9.3.8.4

Moltiplica $9$ per $333$ .

$\frac{5 \sqrt{333}}{2997}$

Passaggio 9.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Riscrivi $333$ come $3^{2} \cdot 37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1.1

Scomponi $9$ da $333$ .

$\frac{5 \sqrt{9 (37)}}{2997}$

Passaggio 9.3.9.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2997}$

Passaggio 9.3.9.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \cdot 3 \sqrt{37}}{2997}$

Passaggio 9.3.9.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 \sqrt{37}}{2997}$

Passaggio 9.3.10

Elimina il fattore comune di $15$ e $2997$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.10.1

Scomponi $3$ da $15 \sqrt{37}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{37})}{2997}$

Passaggio 9.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $2997$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{37})}{3 (999)}$

Passaggio 9.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (5 \sqrt{37})}{3 \cdot 999}$

Passaggio 9.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{37}}{999}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10)) + 0$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10)) + 0$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Somma $\frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10))$ e $0$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10))$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x + 10)$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{5} x + \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot 10$

Passaggio 11.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3} x}{5} + \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot 10$

Passaggio 11.2.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3} x}{5} + \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (5 (2))$

Passaggio 11.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \sqrt{3} x}{5} + \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Passaggio 11.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2 \sqrt{3} x}{5} + 2 \sqrt{3} \cdot 2$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3} x}{5} + 4 \sqrt{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10)) + 0$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Somma $- \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10))$ e $0$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x - (- 10))$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot (x + 10)$

Passaggio 12.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{5} x - \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot 10$

Passaggio 12.2.1.4

$x$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{5} - \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot 10$

Passaggio 12.2.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 \sqrt{3}}{5}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{5} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{5} \cdot 10$

Passaggio 12.2.1.5.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{5} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{5} \cdot (5 (2))$

Passaggio 12.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{5} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Passaggio 12.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{5} - 2 \sqrt{3} \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{5} - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 12.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{5} - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{2 \sqrt{3} x}{5} + 4 \sqrt{3}, y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{5} - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 10, 0)$

Vertici: $(- 10, 2), (- 10, - 2)$

Fuochi: $(- 10, \frac{\sqrt{111}}{3}), (- 10, - \frac{\sqrt{111}}{3})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{111}}{6}$

Asse focale: $\frac{5 \sqrt{37}}{999}$

Asintoti: $y = \frac{2 \sqrt{3} x}{5} + 4 \sqrt{3}$ , $y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{5} - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 15