Precalcolo Esempi

$6 x^{2} - 2 y^{2} - 24 x + 2 y - 1 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} - 2 y^{2} - 24 x + 2 y = 1$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $6 x^{2} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 6$

$b = - 24$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 6}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 6}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (6)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 6}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 12}{6}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $6$ da $- 12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 2}{6 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{6 \cdot - 2}{6 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $6$ .

$e = 0 - \frac{576}{24}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $576$ per $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 24$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$e = 0 - 24$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $24$ da $0$ .

$e = - 24$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $6 {(x - 2)}^{2} - 24$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 24$

Passaggio 1.3

Sostituisci $6 x^{2} - 24 x$ con $6 {(x - 2)}^{2} - 24$ nell'equazione $6 x^{2} - 2 y^{2} - 24 x + 2 y = 1$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 24 - 2 y^{2} + 2 y = 1$

Passaggio 1.4

Sposta $- 24$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $24$ a entrambi i lati.

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 y^{2} + 2 y = 1 + 24$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 2 y^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2^{2}$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (- 2))}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (- 2)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.4

Moltiplica ${(- 2)}^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.5

Scomponi $- 2$ da ${(- 2)}^{2}$ .

$e = 0 - \frac{- 2 \cdot - 2}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.6.1

Scomponi $- 2$ da $4 \cdot - 2$ .

$e = 0 - \frac{- 2 \cdot - 2}{- 2 (- 2 \cdot - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{- 2 \cdot - 2}{- 2 (- 2 \cdot - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{- 2}{- 2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{- 2}{- 2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{1}{- 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 0 - - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 1.5.4.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$ .

$- 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 2 y^{2} + 2 y$ con $- 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$ nell'equazione $6 x^{2} - 2 y^{2} - 24 x + 2 y = 1$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} = 1 + 24$

Passaggio 1.7

Sposta $\frac{1}{2}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati.

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + 24 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8

Semplifica $1 + 24 - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{1} + 24 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 24 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{2} + 24 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.1.4

Scrivi $24$ come una frazione con denominatore $1$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{2} + \frac{24}{1} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.1.5

Moltiplica $\frac{24}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{2} + \frac{24}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.1.6

Moltiplica $\frac{24}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{2} + \frac{24 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 + 24 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 1.8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $24$ per $2$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 + 48 - 1}{2}$

Passaggio 1.8.3.2

Somma $2$ e $48$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{50 - 1}{2}$

Passaggio 1.8.3.3

Sottrai $1$ da $50$ .

$6 {(x - 2)}^{2} - 2 {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{49}{2}$

Passaggio 1.9

Dividi per $\frac{49}{2}$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{6 {(x - 2)}^{2}}{\frac{49}{2}} - \frac{2 {(y - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{49}{2}} = \frac{\frac{49}{2}}{\frac{49}{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{49}{12}} - \frac{{(y - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{49}{4}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{7 \sqrt{3}}{6}$

$b = \frac{7}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, \frac{1}{2})$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{7 \sqrt{3}}{6})}^{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{{(7 \sqrt{3})}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $7 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{\frac{7^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49 {\sqrt{3}}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{1}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3}{36} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $49$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{147}{36} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $147$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Scomponi $3$ da $147$ .

$\sqrt{\frac{3 (49)}{36} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 49}{3 \cdot 12} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 49}{3 \cdot 12} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{49}{12} + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{7^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49}{4}}$

Passaggio 5.3.4

Per scrivere $\frac{49}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 5.3.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $\frac{49}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49 \cdot 3}{4 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.5.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49 \cdot 3}{12}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{49 + 49 \cdot 3}{12}}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Moltiplica $49$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{49 + 147}{12}}$

Passaggio 5.3.7.2

Somma $49$ e $147$ .

$\sqrt{\frac{196}{12}}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $196$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Scomponi $4$ da $196$ .

$\sqrt{\frac{4 (49)}{12}}$

Passaggio 5.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{49}{3}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{49}{3}}$ come $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{7}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.11

Moltiplica $\frac{7}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.12

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.1

Moltiplica $\frac{7}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.12.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.12.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.3.12.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.12.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.12.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.12.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.12.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.12.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.12.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.3.12.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 + \frac{7 \sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2})$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 - \frac{7 \sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2})$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(2 + \frac{7 \sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2}), (2 - \frac{7 \sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 + \frac{7 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 - \frac{7 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{2})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(2 + \frac{7 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{2}), (2 - \frac{7 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{7 \sqrt{3}}{6})}^{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}}}{\frac{7 \sqrt{3}}{6}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{7 \sqrt{3}}{6})}^{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{{(7 \sqrt{3})}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $7 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{\frac{7^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49 {\sqrt{3}}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3^{1}}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3}{6^{2}} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 3}{36} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.2

Moltiplica $49$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{147}{36} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.3

Elimina il fattore comune di $147$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.3.1

Scomponi $3$ da $147$ .

$\sqrt{\frac{3 (49)}{36} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.3.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 49}{3 \cdot 12} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 49}{3 \cdot 12} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{49}{12} + {(\frac{7}{2})}^{2}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{7^{2}}{2^{2}}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.4.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49}{2^{2}}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49}{4}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.5

Per scrivere $\frac{49}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Moltiplica $\frac{49}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49 \cdot 3}{4 \cdot 3}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.6.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{49}{12} + \frac{49 \cdot 3}{12}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{49 + 49 \cdot 3}{12}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1

Moltiplica $49$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{49 + 147}{12}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.8.2

Somma $49$ e $147$ .

$\sqrt{\frac{196}{12}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.9

Elimina il fattore comune di $196$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Scomponi $4$ da $196$ .

$\sqrt{\frac{4 (49)}{12}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 3}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 3}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{49}{3}} \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{49}{3}}$ come $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1.1

Scomponi $7$ da $7 \sqrt{3}$ .

$\frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{6}{7 (\sqrt{3})}$

Passaggio 8.3.12.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{6}{7 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.12.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{6}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.12.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{6}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.13

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.14

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.3.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.16

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.3.17

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.17.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.17.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.17.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.17.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.17.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.17.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{3^{1}}$

Passaggio 8.3.17.5

Calcola l'esponente.

$\frac{6}{3}$

Passaggio 8.3.18

Dividi $6$ per $3$ .

$2$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{7}{2^{2}}}{7 \sqrt{3}}}{3}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{7}{2^{2}}}{7 \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{7}{2^{2}} \cdot 1}{7 \sqrt{3} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{7}{4} \cdot 1}{7 \sqrt{3} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{7}{4}$ per $1$ .

$\frac{\frac{7}{4}}{7 \sqrt{3} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.3.3

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{\frac{7}{4}}{21 \sqrt{3}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{21 \sqrt{3}}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Scomponi $7$ da $21 \sqrt{3}$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{7 (3 \sqrt{3})}$

Passaggio 9.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{7 (3 \sqrt{3})}$

Passaggio 9.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4 (3 \sqrt{3})}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{12 \sqrt{3}}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $\frac{1}{12 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{12 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.3.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{12 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.3.9.2

Sposta $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Passaggio 9.3.9.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Passaggio 9.3.9.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Passaggio 9.3.9.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{3}}{12 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.9.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 9.3.9.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.9.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.9.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.9.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3}}{12 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.9.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{12 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 9.3.9.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{3}}{12 \cdot 3}$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $12$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{36}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot (x - (2)) + \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{3} \cdot (x - (2)) + \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \sqrt{3} \cdot (x - 2) + \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 2 + \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - (2)) + \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - 2) + \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 2 + \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = - \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}, y = - \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(2, \frac{1}{2})$

Vertici: $(2 + \frac{7 \sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2}), (2 - \frac{7 \sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2})$

Fuochi: $(2 + \frac{7 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{2}), (2 - \frac{7 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{2})$

Eccentricità: $2$

Asse focale: $\frac{\sqrt{3}}{36}$

Asintoti: $y = \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$ , $y = - \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 15