Precalcolo Esempi

$36 x^{2} + 4 y^{2} = 9$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Dividi per $9$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{36 x^{2}}{9} + \frac{4 y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{4}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{3}{2}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{9 - 1}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Sottrai $1$ da $9$ .

$\sqrt{\frac{8}{4}}$

Passaggio 5.3.9

Dividi $8$ per $4$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \frac{3}{2})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, \frac{3}{2})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\frac{3}{2}))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - \frac{3}{2})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{3}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{3}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{2})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \sqrt{2})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, \sqrt{2})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\sqrt{2}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - \sqrt{2})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1}{2^{2}}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{9 - 1}{4}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.8

Sottrai $1$ da $9$ .

$\sqrt{\frac{8}{4}} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.2.9

Dividi $8$ per $4$ .

$\sqrt{2} \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.3

$\sqrt{2}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{3}$

Passaggio 8.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{3}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{3}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

Eccentricità: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 10