Precalcolo Esempi

$2 x^{2} - 3 y^{2} + 15 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 3 y^{2} = - 15$

Passaggio 1.2

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- 2 x^{2} + 3 y^{2} = 15$

Passaggio 1.3

Dividi per $15$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{2 x^{2}}{15} + \frac{3 y^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Passaggio 1.4

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{\frac{15}{2}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \sqrt{5}$

$b = \frac{\sqrt{30}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5^{1} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{5 + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{30}}{2}$ .

$\sqrt{5 + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi ${\sqrt{30}}^{2}$ come $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{30}$ come $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5 + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{5 + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{5 + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5 + \frac{30^{1}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{5 + \frac{30}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{5 + \frac{30}{4}}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $30$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\sqrt{5 + \frac{2 (15)}{4}}$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\sqrt{5 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{5 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5 + \frac{15}{2}}$

Passaggio 5.3.6

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}}$

Passaggio 5.3.7

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}}$

Passaggio 5.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 15}{2}}$

Passaggio 5.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{10 + 15}{2}}$

Passaggio 5.3.9.2

Somma $10$ e $15$ .

$\sqrt{\frac{25}{2}}$

Passaggio 5.3.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{2}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.12

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.13

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.13.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.13.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 5.3.13.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.13.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.3.13.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.13.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.13.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.13.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.13.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.3.13.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, \sqrt{5})$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - \sqrt{5})$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(0, \sqrt{5}), (0, - \sqrt{5})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, \frac{5 \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - \frac{5 \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(0, \frac{5 \sqrt{2}}{2}), (0, - \frac{5 \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5^{1} + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5 + {(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{30}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{2^{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{30}}^{2}$ come $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{30}$ come $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5 + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5 + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5 + \frac{30^{1}}{2^{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5 + \frac{30}{2^{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{5 + \frac{30}{4}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5

Elimina il fattore comune di $30$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\frac{\sqrt{5 + \frac{2 (15)}{4}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\sqrt{5 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5 + \frac{15}{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.6

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 15}{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.9.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{10 + 15}{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.9.2

Somma $10$ e $15$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25}{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{2}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.11.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\frac{5}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.12

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.13.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 8.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 8.3.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 8.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 8.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 8.3.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 (\sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 8.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 8.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{5}$

Passaggio 8.3.6

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 8.3.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{2}$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{30}}{2^{2}}}{5 \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{2^{2}}}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{2^{2}} \cdot 1}{5 \sqrt{2} \cdot 2}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot 1}{5 \sqrt{2} \cdot 2}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{30}}{4}$ per $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{4}}{5 \sqrt{2} \cdot 2}$

Passaggio 9.3.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{4}}{10 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{1}{10 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $\frac{1}{10 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} (\frac{1}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 9.3.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{10 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.6.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 9.3.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 9.3.6.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{20}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $\frac{\sqrt{30}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{20}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{30}}{4}$ per $\frac{\sqrt{2}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{30} \sqrt{2}}{4 \cdot 20}$

Passaggio 9.3.8.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{30 \cdot 2}}{4 \cdot 20}$

Passaggio 9.3.8.3

Moltiplica $30$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{60}}{4 \cdot 20}$

Passaggio 9.3.8.4

Moltiplica $4$ per $20$ .

$\frac{\sqrt{60}}{80}$

Passaggio 9.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$\frac{\sqrt{4 (15)}}{80}$

Passaggio 9.3.9.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}{80}$

Passaggio 9.3.9.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{15}}{80}$

Passaggio 9.3.10

Elimina il fattore comune di $2$ e $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.10.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 (\sqrt{15})}{80}$

Passaggio 9.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.10.2.1

Scomponi $2$ da $80$ .

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 40}$

Passaggio 9.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 40}$

Passaggio 9.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{15}}{40}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x + 0$

Passaggio 11

Semplifica $\frac{\sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $\frac{\sqrt{6}}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{\sqrt{6}}{3} x$

Passaggio 11.2

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{3}$

Passaggio 12

Semplifica $- \frac{\sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- \frac{\sqrt{6}}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{6}}{3} x$

Passaggio 12.2

$x$ e $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(0, \sqrt{5}), (0, - \sqrt{5})$

Fuochi: $(0, \frac{5 \sqrt{2}}{2}), (0, - \frac{5 \sqrt{2}}{2})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{15}}{40}$

Asintoti: $y = \frac{\sqrt{6} x}{3}$ , $y = - \frac{x \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 15