Precalcolo Esempi

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 4^{2}}{32} = 1$

Passaggio 1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 4^{2}}{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 1 \cdot 16}{32} = 1$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 16}{32} = 1$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} \cdot \frac{8}{8} + \frac{y - 16}{32} = 1$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $\frac{y - 16}{32}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} \cdot \frac{8}{8} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Passaggio 1.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $288$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{36 \cdot 8} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica $36$ per $8$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $\frac{y - 16}{32}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{(y - 16) \cdot 9}{32 \cdot 9} = 1$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $32$ per $9$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{(y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8 + (y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.6.1

Sposta $8$ alla sinistra di ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {(x + 3)}^{2} + (y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + y \cdot 9 - 16 \cdot 9}{288} = 1$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $9$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 \cdot y - 16 \cdot 9}{288} = 1$

Passaggio 1.1.6.4

Moltiplica $- 16$ per $9$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} = 1$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $288$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} \cdot 288 = 1 \cdot 288$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $288$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} \cdot 288 = 1 \cdot 288$

Passaggio 1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144 = 1 \cdot 288$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $288$ per $1$ .

$8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144 = 288$

Passaggio 1.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.4.1.1

Sottrai $8 {(x + 3)}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y - 144 = 288 - 8 {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2

Somma $144$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y = 288 - 8 {(x + 3)}^{2} + 144$

Passaggio 1.4.1.3

Somma $288$ e $144$ .

$9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$

Passaggio 1.4.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$ e semplifica.

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Passaggio 1.4.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y}{9} = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Passaggio 1.4.2.3.1.2

Dividi $432$ per $9$ .

$y = - \frac{8 {(x + 3)}^{2}}{9} + 48$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x + 3)}^{2} + 48$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{8}{9}$

$h = - 3$

$k = 48$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 3, 48)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{8}{9})}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{8}{9})}$

Passaggio 5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{8}{9})}$

Passaggio 5.3.2

$4$ e $\frac{8}{9}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 8}{9}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$- \frac{1}{\frac{32}{9}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 (\frac{9}{32}))$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $\frac{9}{32}$ per $1$ .

$- \frac{9}{32}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, \frac{1527}{32})$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 3$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{1545}{32}$

Passaggio 9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 3, 48)$

Fuoco: $(- 3, \frac{1527}{32})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = \frac{1545}{32}$

Passaggio 10