Precalcolo Esempi

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{18} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{28} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{18} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{28} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3 \sqrt{2}$

$b = 2 \sqrt{7}$

$k = 5$

$h = - 3$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 3, 5)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{9 \cdot 2^{1} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{9 \cdot 2 + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\sqrt{18 + {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{18 + 2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{18 + 4 {\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{18 + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{18 + 4 \cdot 7}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\sqrt{18 + 28}$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $18$ e $28$ .

$\sqrt{46}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3 + 3 \sqrt{2}, 5)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3 - 3 \sqrt{2}, 5)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 3 + 3 \sqrt{2}, 5), (- 3 - 3 \sqrt{2}, 5)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3 + \sqrt{46}, 5)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3 - \sqrt{46}, 5)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 3 + \sqrt{46}, 5), (- 3 - \sqrt{46}, 5)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{1} + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2 + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{18 + {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{18 + 4 {\sqrt{7}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{18 + 4 \cdot 7^{1}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{18 + 4 \cdot 7}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.8

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\frac{\sqrt{18 + 28}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.9

Somma $18$ e $28$ .

$\frac{\sqrt{46}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.2

Combina $\sqrt{46}$ e $\sqrt{2}$ in un singolo radicale.

$\frac{\sqrt{\frac{46}{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $46$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $2$ da $46$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 23}{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 23}{2 (1)}}}{3}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 23}{2 \cdot 1}}}{3}$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{\frac{23}{1}}}{3}$

Passaggio 8.3.3.2.4

Dividi $23$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{23}}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{2 {\sqrt{7}}^{2}}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot 7^{1}}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 \cdot 7}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\frac{14}{\sqrt{46}}$ per $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$ .

$\frac{14}{\sqrt{46}} \cdot \frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Moltiplica $\frac{14}{\sqrt{46}}$ per $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$ .

$\frac{14 \sqrt{46}}{\sqrt{46} \sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{46}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{14 \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{1} \sqrt{46}}$

Passaggio 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{46}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{14 \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{1} {\sqrt{46}}^{1}}$

Passaggio 9.3.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{14 \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{14 \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{2}}$

Passaggio 9.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{46}}^{2}$ come $46$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{46}$ come $46^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 \sqrt{46}}{{(46^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 \sqrt{46}}{46^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{14 \sqrt{46}}{46^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 \sqrt{46}}{46^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14 \sqrt{46}}{46^{1}}$

Passaggio 9.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{14 \sqrt{46}}{46}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $14$ e $46$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Scomponi $2$ da $14 \sqrt{46}$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{46})}{46}$

Passaggio 9.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $46$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{46})}{2 (23)}$

Passaggio 9.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (7 \sqrt{46})}{2 \cdot 23}$

Passaggio 9.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 \sqrt{46}}{23}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot (x - (- 3)) + 5$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot (x - (- 3)) + 5$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y = \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot (x + 3) + 5$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\sqrt{14}}{3} x + \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot 3 + 5$

Passaggio 11.2.3

$\frac{\sqrt{14}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{14} x}{3} + \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot 3 + 5$

Passaggio 11.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt{14} x}{3} + \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot 3 + 5$

Passaggio 11.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt{14} x}{3} + \sqrt{14} + 5$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot (x - (- 3)) + 5$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y = - \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot (x + 3) + 5$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{14}}{3} x - \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot 3 + 5$

Passaggio 12.2.3

$x$ e $\frac{\sqrt{14}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{14}}{3} - \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot 3 + 5$

Passaggio 12.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{14}}{3}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x \sqrt{14}}{3} + \frac{- \sqrt{14}}{3} \cdot 3 + 5$

Passaggio 12.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x \sqrt{14}}{3} + \frac{- \sqrt{14}}{3} \cdot 3 + 5$

Passaggio 12.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x \sqrt{14}}{3} - \sqrt{14} + 5$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{\sqrt{14} x}{3} + \sqrt{14} + 5, y = - \frac{x \sqrt{14}}{3} - \sqrt{14} + 5$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 3, 5)$

Vertici: $(- 3 + 3 \sqrt{2}, 5), (- 3 - 3 \sqrt{2}, 5)$

Fuochi: $(- 3 + \sqrt{46}, 5), (- 3 - \sqrt{46}, 5)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{23}}{3}$

Asse focale: $\frac{7 \sqrt{46}}{23}$

Asintoti: $y = \frac{\sqrt{14} x}{3} + \sqrt{14} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{14}}{3} - \sqrt{14} + 5$

Passaggio 15