Precalcolo Esempi

$u = \cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ , $v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 1

Semplifica $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $i$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $j$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Riordina $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ e $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 2

Semplifica $\cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$v = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$i$ e $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $j$ .

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Riordina $- \frac{i}{2}$ e $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ .

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Step 3

Risolvi l'equazione per $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $i$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $j$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Sposta tutti i termini contenenti $j$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} - \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Combina i termini opposti in $\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $\sqrt{2} j$ da $\sqrt{2} j$ .

$\frac{\sqrt{2} i + 0}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Somma $\sqrt{2} i$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Poiché $\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$ , l'equazione sarà sempre vera.

Sempre vero

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Sempre vero

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Step 4

Risolvi l'equazione per $i$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Sempre vero

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Sempre vero

$i$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Sempre vero

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

Sempre vero

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

Sempre vero

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $j$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre vero

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre vero

Sposta tutti i termini contenenti $i$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $\frac{i}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre vero

Combina i termini opposti in $\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $- \frac{i}{2}$ e $\frac{i}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre vero

Somma $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre vero

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre vero

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Sempre vero

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$\sqrt{3} j = \sqrt{3} j$

Sempre vero

Sposta tutti i termini contenenti $j$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $\sqrt{3} j$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3} j - \sqrt{3} j = 0$

Sempre vero

Sottrai $\sqrt{3} j$ da $\sqrt{3} j$ .

$0 = 0$

Sempre vero

$0 = 0$

Sempre vero

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Sempre vero