Precalcolo Esempi

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2

Semplifica $2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ .

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Passaggio 2.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Perciò, $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $\frac{2 + x}{2}$ per $\frac{2 - x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(2 + x) (2 - x)$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.4.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.4.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.6

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = 2 (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.7.1

Elimina il fattore comune.

$y = 2 (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$