Precalcolo Esempi

$x = 4 + 2 \cos (t)$ , $y = - 1 + 4 \sin (t)$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$x = 4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2

Semplifica $4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ . Perciò, $\cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(1 + \frac{y}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4 + 1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.4.3

Somma $4$ e $1$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - \frac{y}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4 - 1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.4.7

Sottrai $1$ da $4$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot \frac{- y + 3}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $\frac{y + 5}{4}$ per $\frac{- y + 3}{4}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{4 \cdot 4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}$ come ${(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(y + 5) (- y + 3)$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.9.2

Scomponi la potenza perfetta $4^{2}$ su $16$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.9.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$x = 4 + 2 (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(y + 5) (- y + 3)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.11

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}$ .

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{4})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 (2)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 \cdot 2})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.3

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{4 \cdot 2 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 2.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$