Precalcolo Esempi

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

Passaggio 1

Semplifica la prima diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$4^{x} < y$ e $y < 8 - x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ e $y < 8 - x^{2}$

Passaggio 1.3

Espandi $\ln (4^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (4) < \ln (y)$ e $y < 8 - x^{2}$

Passaggio 1.4

Dividi per $\ln (4)$ ciascun termine in $x \ln (4) < \ln (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Dividi per $\ln (4)$ ciascun termine in $x \ln (4) < \ln (y)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < 8 - x^{2}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < 8 - x^{2}$

Passaggio 1.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < 8 - x^{2}$

Passaggio 2

Semplifica la seconda diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $8 - x^{2} > y$

Passaggio 2.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- x^{2} > y - 8$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} > y - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} > y - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{y}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot y$ come $- y$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $x^{2} < - y + 8$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $| x | < \sqrt{- y + 8}$

Passaggio 2.6

Scrivi $| x | < \sqrt{- y + 8}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.6.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x < \sqrt{- y + 8}$

Passaggio 2.6.3

Individua il dominio di $x < \sqrt{- y + 8}$ e trova l'intersezione con $x \geq 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Trova il dominio di $x < \sqrt{- y + 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- y + 8}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- y + 8 \geq 0$

Passaggio 2.6.3.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- y \geq - 8$

Passaggio 2.6.3.1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y \geq - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y \geq - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.6.3.1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.6.3.1.2.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.6.3.1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.2.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$y \leq 8$

Passaggio 2.6.3.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 8]$

Passaggio 2.6.3.2

Trova l'intersezione di $x \geq 0$ e $(- \infty, 8]$ .

$0 \leq x \leq 8$

Passaggio 2.6.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.6.5

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x < \sqrt{- y + 8}$

Passaggio 2.6.6

Individua il dominio di $- x < \sqrt{- y + 8}$ e trova l'intersezione con $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Trova il dominio di $- x < \sqrt{- y + 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- y + 8}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- y + 8 \geq 0$

Passaggio 2.6.6.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- y \geq - 8$

Passaggio 2.6.6.1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y \geq - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y \geq - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.6.6.1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.6.6.1.2.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.6.6.1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1.2.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$y \leq 8$

Passaggio 2.6.6.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 8]$

Passaggio 2.6.6.2

Trova l'intersezione di $x < 0$ e $(- \infty, 8]$ .

$x < 0$

Passaggio 2.6.7

Scrivi a tratti.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.7

Risolvi $x < \sqrt{- y + 8}$ dove $0 \leq x \leq 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Risolvi $x < \sqrt{- y + 8}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Riscrivi in modo che $y$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\sqrt{- y + 8} > x$

Passaggio 2.7.1.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

Passaggio 2.7.1.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- y + 8}$ come ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Passaggio 2.7.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.2.1

Semplifica ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Passaggio 2.7.1.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Passaggio 2.7.1.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > x^{2}$

Passaggio 2.7.1.3.2.1.2

Semplifica.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > x^{2}$

Passaggio 2.7.1.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y > x^{2} - 8$

Passaggio 2.7.1.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y > x^{2} - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y > x^{2} - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.4.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.4.2.3.1.3

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + 8$

Passaggio 2.7.2

Trova l'intersezione di $y < - x^{2} + 8$ e $0 \leq x \leq 8$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

Passaggio 2.8

Risolvi $- x < \sqrt{- y + 8}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Risolvi $- x < \sqrt{- y + 8}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Riscrivi in modo che $y$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\sqrt{- y + 8} > - x$

Passaggio 2.8.1.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.8.1.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- y + 8}$ come ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.8.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.2.1

Semplifica ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.8.1.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.8.1.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.8.1.3.2.1.2

Semplifica.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.8.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.3.1

Semplifica ${(- x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.3.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

Passaggio 2.8.1.3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > 1 x^{2}$

Passaggio 2.8.1.3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y + 8 > x^{2}$

Passaggio 2.8.1.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $- y > x^{2} - 8$

Passaggio 2.8.1.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y > x^{2} - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y > x^{2} - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.8.1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.8.1.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.8.1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.8.1.4.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.8.1.4.2.3.1.3

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ e $y < - x^{2} + 8$

Passaggio 2.8.2

Trova l'intersezione di $y < - x^{2} + 8$ e $x < 0$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

Passaggio 2.9

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

Passaggio 3