Precalcolo Esempi

$x = t^{2} + t$ , $y = \sqrt{t^{2} - t}$

Passaggio 1

Imposta l'equazione parametrica per $x (t)$ per risolvere l'equazione per $t$ .

$x = t^{2} + t$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione come $t^{2} + t = x$ .

$t^{2} + t = x$

Passaggio 3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t^{2} + t - x = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - x$ nella formula quadratica e risolvi per $t$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Passaggio 7.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Passaggio 7.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{1 + 4 x}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ .

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Passaggio 7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Passaggio 8.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Passaggio 8.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ .

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Passaggio 8.4.1

Riordina $1$ e $4 x$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Passaggio 8.4.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Passaggio 8.4.3

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{4 x + 1}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

Passaggio 8.4.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Passaggio 8.4.5

Riscrivi $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ come $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Passaggio 8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Passaggio 9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Passaggio 10

Sostituisci $t$ nell'equazione per $y$ per ottenere l'equazione in termini di $x$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}$

Passaggio 11

Moltiplica $- 1$ per $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Passaggio 12

Semplifica $\sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$ .

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Passaggio 12.1

Per scrivere ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Passaggio 12.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 12.2.1

${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Passaggio 12.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

Passaggio 12.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 {(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$