Precalcolo Esempi

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Passaggio 2.2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Passaggio 2.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Passaggio 2.3.2

Per scrivere $- \frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- \frac{1}{21}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $84$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $4$ per $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $\frac{1}{21}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.4.4

Moltiplica $21$ per $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Passaggio 2.3.6

Sottrai $4$ da $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Passaggio 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{221}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Scomponi $21$ da $- 84$ .

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.2.2.3

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $- 221$ e $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Passaggio 4.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Passaggio 4.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Scomponi $5$ da $205$ .

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Passaggio 4.7.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Passaggio 4.7.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Passaggio 4.7.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Scomponi $4$ da $84$ .

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Passaggio 4.8.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Passaggio 4.8.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Passaggio 4.9

$41$ e $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $41$ per $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Passaggio 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 84$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Per scrivere $- 42$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Passaggio 5.2.2.3

$- 42$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Passaggio 5.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Passaggio 5.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.5.1

Moltiplica $- 42$ per $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Passaggio 5.2.2.5.2

Sottrai $221$ da $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Passaggio 5.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Passaggio 5.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Scomponi $5$ da $305$ .

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Passaggio 5.7.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Passaggio 5.7.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Passaggio 5.7.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Passaggio 5.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Scomponi $2$ da $84$ .

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Passaggio 5.8.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Passaggio 5.8.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Passaggio 5.9

$61$ e $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $61$ per $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Passaggio 6

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$