Precalcolo Esempi

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{3}{2}$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 2.2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

Passaggio 2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

Passaggio 2.3.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Passaggio 2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{6}$

Passaggio 2.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

Passaggio 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $- \frac{1}{6}$ per $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{1}{6} - (\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{6} - \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6} - - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 3}{6}$

Passaggio 4.2.2.5

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{6}$

Passaggio 4.2.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Passaggio 4.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3}$

$D_{x} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{1}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{6}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Passaggio 4.7.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Passaggio 4.7.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - 2$

Passaggio 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{3}{2} \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 - 1}{4}$

Passaggio 5.2.2.3

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$\frac{- 4}{4}$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $- 4$ per $4$ .

$- 1$

$D_{y} = - 1$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 1}{- \frac{1}{6}}$

Passaggio 5.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = 1 \cdot 6$

Passaggio 5.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$y = 6$

Passaggio 6

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = - 2$

$y = 6$