Precalcolo Esempi

$2 x - 5 y = - 2$ , $- \frac{1}{4} x + 2 y = 7$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 2 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Passaggio 2.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$4 - (5 (\frac{1}{4}))$

Passaggio 2.3.1.2.2

$5$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 - \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.3

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 4 - 5}{4}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 - 5}{4}$

Passaggio 2.3.5.2

Sottrai $5$ da $16$ .

$\frac{11}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Passaggio 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ 7 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 2 - 7 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 - 7 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 7$ per $- 5$ .

$- 4 + 35$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 4$ e $35$ .

$31$

$D_{x} = 31$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $31$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{31}{\frac{11}{4}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = 31 (\frac{4}{11})$

Passaggio 4.6

Moltiplica $31 (\frac{4}{11})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

$31$ e $\frac{4}{11}$ .

$x = \frac{31 \cdot 4}{11}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $31$ per $4$ .

$x = \frac{124}{11}$

Passaggio 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - \frac{1}{4} & 7 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 7 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$14 - (\frac{- 1}{4} \cdot - 2)$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$14 - (\frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2)$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Passaggio 5.2.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Passaggio 5.2.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$14 - (\frac{- 1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.2.1.3

$\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$14 - \frac{- - 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$14 - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Per scrivere $14$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$14 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.3

$14$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{14 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.5.1

Moltiplica $14$ per $2$ .

$\frac{28 - 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.5.2

Sottrai $1$ da $28$ .

$\frac{27}{2}$

$D_{y} = \frac{27}{2}$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $\frac{27}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{\frac{27}{2}}{\frac{11}{4}}$

Passaggio 5.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{11}$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 (2)}{11}$

Passaggio 5.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{11}$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 27 (\frac{2}{11})$

Passaggio 5.7

$27$ e $\frac{2}{11}$ .

$y = \frac{27 \cdot 2}{11}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $27$ per $2$ .

$y = \frac{54}{11}$

Passaggio 6

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = \frac{124}{11}$

$y = \frac{54}{11}$