Precalcolo Esempi

$r + \frac{2}{3} s = 4$ , $r - s = 3$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} r \\ s \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 2}{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 - 2}{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{3}$

$D = - \frac{5}{3}$

Passaggio 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of $r$ by Cramer's Rule, which states that $r = \frac{D_{r}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $r$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 1 - 3 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 - 3 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$- 4 + 3 (- 1) \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 - 2$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$- 6$

$D_{r} = - 6$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for $r$ .

$r = \frac{D_{r}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 6$ for $D_{r}$ in the formula.

$r = \frac{- 6}{- \frac{5}{3}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = - 6 (- \frac{3}{5})$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 6 (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$r = 6 (\frac{3}{5})$

Passaggio 4.6.2

$6$ e $\frac{3}{5}$ .

$r = \frac{6 \cdot 3}{5}$

Passaggio 4.6.3

Moltiplica $6$ per $3$ .

$r = \frac{18}{5}$

Passaggio 5

Find the value of $s$ by Cramer's Rule, which states that $s = \frac{D_{s}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $s$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 1 \cdot 4$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$3 - 4$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$- 1$

$D_{s} = - 1$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for $s$ .

$s = \frac{D_{s}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{s}$ in the formula.

$s = \frac{- 1}{- \frac{5}{3}}$

Passaggio 5.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$s = \frac{1}{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$s = 1 (\frac{3}{5})$

Passaggio 5.7

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$s = \frac{3}{5}$

Passaggio 6

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$r = \frac{18}{5}$

$s = \frac{3}{5}$