Precalcolo Esempi

$x + y + z = 8$ , $x - y + z = - 2$ , $2 x + 0 + 2 = 9$

Step 1

Somma $2 x$ e $0$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x + 2 = 9$

Step 2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 9 - 2$

Step 3

Sottrai $2$ da $9$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 7$

Step 4

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 7 \end{array}]$

Step 5

Trova il determinante di $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il determinante suddividendolo in componenti più piccoli.

$D = - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $0$ per $1$ .

$D = - 1 (0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$D = - 1 (0 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Sottrai $2$ da $0$ .

$D = - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$D = 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $0$ per $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Sottrai $2$ da $0$ .

$D = 2 - 1 \cdot - 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$D = 2 + 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $1$ per $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1 \cdot 1)$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1)$

Sottrai $1$ da $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 \cdot 0$

Moltiplica $0$ per $0$ .

$D = 2 + 2 + 0$

Somma $2$ e $2$ .

$D = 4 + 0$

Somma $4$ e $0$ .

$D = 4$

Step 6

Trova il determinante di $[\begin{array}{c} 8 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il determinante suddividendolo in componenti più piccoli.

$D_{x} = - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = - 1 (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Sottrai $7$ da $0$ .

$D_{x} = - 1 \cdot - 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$D_{x} = 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 - 1 (8 \cdot 0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $8$ per $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Sottrai $7$ da $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 \cdot - 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1))$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $8$ per $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 - (- 2 \cdot 1))$

Moltiplica $- (- 2 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Somma $8$ e $2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 \cdot 10$

Moltiplica $0$ per $10$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0$

Somma $7$ e $7$ .

$D_{x} = 14 + 0$

Somma $14$ e $0$ .

$D_{x} = 14$

Step 7

Trova il determinante di $[\begin{array}{c} 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 7 & 0 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il determinante suddividendolo in componenti più piccoli.

$D_{y} = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} |$ per $1$ .

$D_{y} = | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $7$ per $1$ .

$D_{y} = 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$D_{y} = 7 + 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Somma $7$ e $4$ .

$D_{y} = 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $7$ per $1$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Sottrai $16$ da $7$ .

$D_{y} = 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Sottrai $8$ da $- 2$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Moltiplica $0$ per $- 10$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0$

Somma $11$ e $9$ .

$D_{y} = 20 + 0$

Somma $20$ e $0$ .

$D_{y} = 20$

Step 8

Trova il determinante di $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 8 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il determinante suddividendolo in componenti più piccoli.

$D_{z} = - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $7$ per $1$ .

$D_{z} = - 1 (7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$D_{z} = - 1 (7 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Somma $7$ e $4$ .

$D_{z} = - 1 \cdot 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$D_{z} = - 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $7$ per $1$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Sottrai $16$ da $7$ .

$D_{z} = - 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Sottrai $8$ da $- 2$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Moltiplica $0$ per $- 10$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0$

Somma $- 11$ e $9$ .

$D_{z} = - 2 + 0$

Somma $- 2$ e $0$ .

$D_{z} = - 2$

Step 9

Trova il valore di $x$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $x = \frac{D_{x}}{D}$ . In questo caso, $x = \frac{14}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$x = \frac{14}{4}$

Elimina il fattore comune di $14$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $14$ .

$x = \frac{2 (7)}{4}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{7}{2}$

Step 10

Trova il valore di $y$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $y = \frac{D_{y}}{D}$ . In questo caso, $y = \frac{20}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{20}{4}$

Dividi $20$ per $4$ .

$y = 5$

Step 11

Trova il valore di $z$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $z = \frac{D_{z}}{D}$ . In questo caso, $z = \frac{- 2}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$z = \frac{- 2}{4}$

Semplifica $\frac{- 2}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$z = \frac{2 (- 1)}{4}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $4$ .

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Elimina il fattore comune.

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Riscrivi l'espressione.

$z = \frac{- 1}{2}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$z = - \frac{1}{2}$

Step 12

La soluzione del sistema di equazioni usando la regola di Cramer.

$x = \frac{7}{2}, y = 5, z = - \frac{1}{2}$