Precalcolo Esempi

$36 x^{2} - y^{2} - 4 y = - 32$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Completa il quadrato per $- y^{2} - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Passaggio 1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 2$ come $- - 2$ .

$d = - - 2$

Passaggio 1.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$d = 2$

Passaggio 1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.6

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - - 4$

Passaggio 1.1.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Passaggio 1.1.4.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$e = 4$

Passaggio 1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(y + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

Passaggio 1.2

Sostituisci $- y^{2} - 4 y$ con $- {(y + 2)}^{2} + 4$ nell'equazione $36 x^{2} - y^{2} - 4 y = - 32$ .

$36 x^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = - 32$

Passaggio 1.3

Sposta $4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$36 x^{2} - {(y + 2)}^{2} = - 32 - 4$

Passaggio 1.4

Sottrai $4$ da $- 32$ .

$36 x^{2} - {(y + 2)}^{2} = - 36$

Passaggio 1.5

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- 36 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 36$

Passaggio 1.6

Dividi per $36$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{36 x^{2}}{36} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 6$

$b = 1$

$k = - 2$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, - 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{36 + 1}$

Passaggio 5.3.3

Somma $36$ e $1$ .

$\sqrt{37}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 4)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 8)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(0, 4), (0, - 8)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 2 + \sqrt{37})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 2 - \sqrt{37})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(0, - 2 + \sqrt{37}), (0, - 2 - \sqrt{37})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(1)}^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 1^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{36 + 1}}{6}$

Passaggio 8.3.3

Somma $36$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{6}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{37}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{37}}$ per $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{37}}$ per $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{37}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{37}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{37}}^{2}$ come $37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{37}$ come $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{37}}{37^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{37}}{37}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm 6 \cdot x - 2$

Passaggio 11

Moltiplica $6$ per $x$ .

$y = 6 x - 2$

Passaggio 12

Moltiplica $- 6$ per $x$ .

$y = - 6 x - 2$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = 6 x - 2, y = - 6 x - 2$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, - 2)$

Vertici: $(0, 4), (0, - 8)$

Fuochi: $(0, - 2 + \sqrt{37}), (0, - 2 - \sqrt{37})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{37}}{6}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{37}}{37}$

Asintoti: $y = 6 x - 2$ , $y = - 6 x - 2$

Passaggio 15