Precalcolo Esempi

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x) + \ln (x^{2} - 4) - \ln (x - 2)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x (x^{2} - 4)) - \ln (x - 2)$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\frac{2}{3} \ln (8)$ spostando $\frac{2}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln (8^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Passaggio 3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\ln ({(2^{3})}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Passaggio 3.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (2^{2}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Passaggio 3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 2^{2})}{x - 2})$

Passaggio 3.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Passaggio 3.7.2

Dividi $x (x + 2)$ per $1$ .

$\ln (4) + \ln (x (x + 2))$

Passaggio 3.8

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (4) + \ln (x \cdot x + x \cdot 2)$

Passaggio 3.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + x \cdot 2)$

Passaggio 3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + 2 x)$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 (x^{2} + 2 x))$

Passaggio 5

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (4 x^{2} + 4 (2 x))$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\ln (4 x^{2} + 8 x)$