Precalcolo Esempi

$4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 24 y + 19 = 0$

Passaggio 1

Sottrai $19$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 24 y = - 19$

Passaggio 2

Dividi entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$x^{2} - x + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$

Passaggio 3

Completa il quadrato per $x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Passaggio 3.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $\frac{1}{4}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci $x^{2} - x$ con ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ nell'equazione $x^{2} - x + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$

Passaggio 5

Sposta $- \frac{1}{4}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 6

Completa il quadrato per $y^{2} + 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Passaggio 6.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 6.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 6.3.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 6.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Dividi $36$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Passaggio 6.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = 0 - 9$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$e = - 9$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + 3)}^{2} - 9$ .

${(y + 3)}^{2} - 9$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{2} + 6 y$ con ${(y + 3)}^{2} - 9$ nell'equazione $x^{2} - x + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = - \frac{19}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 8

Sposta $- 9$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $9$ a entrambi i lati.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - \frac{19}{4} + \frac{1}{4} + 9$

Passaggio 9

Semplifica $- \frac{19}{4} + \frac{1}{4} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{- 19 + 1}{4}$

Passaggio 9.1.2

Somma $- 19$ e $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{- 18}{4}$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{2 (- 9)}{4}$

Passaggio 9.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 - \frac{9}{2}$

Passaggio 9.3

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Passaggio 9.4

$9$ e $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Passaggio 9.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{9 \cdot 2 - 9}{2}$

Passaggio 9.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Moltiplica $9$ per $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{18 - 9}{2}$

Passaggio 9.6.2

Sottrai $9$ da $18$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 10

Questa è la forma di un cerchio. Usa la forma per determinare il centro e il raggio del cerchio.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Passaggio 11

Abbina i valori di questo cerchio a quelli della forma standard. La variabile $r$ rappresenta il raggio del cerchio, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$r = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - 3$

Passaggio 12

Il centro di un cerchio si trova a $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{1}{2}, - 3)$

Passaggio 13

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un cerchio.

Centro: $(\frac{1}{2}, - 3)$

Raggio: $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14