Precalcolo Esempi

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 4}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 2^{2}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.3

Semplifica $9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)})$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} ({\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}$ come ${((x + 2) (x - 2))}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}$ come ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} ({({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}})}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4.3

$\frac{1}{3}$ e $9$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{9}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3}{1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.4.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.5

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} ({(x (x - 2) + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.6

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.6.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.6.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{2} ({(x^{2} + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 2 \log_{2} (x - 2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - \log_{2} ({(x - 2)}^{2}) + \log_{2} (x)$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}}) + \log_{2} (x)$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 2^{2})}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{3}$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Passaggio 5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

Passaggio 5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} (x - 2)}{1} x)$

Passaggio 5.1.2.4

Dividi ${(x + 2)}^{3} (x - 2)$ per $1$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2) x)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x + {(x + 2)}^{3} \cdot - 2) x)$

Passaggio 5.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di ${(x + 2)}^{3}$ .

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x - 2 \cdot {(x + 2)}^{3}) x)$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x \cdot x - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Passaggio 6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta $x$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x \cdot x) - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Passaggio 7

Riordina i fattori in $\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$ .

$\log_{2} (x^{2} {(x + 2)}^{3} - 2 x {(x + 2)}^{3})$