Precalcolo Esempi

$\log_{3} (x^{2} - 1) + 2 \log_{3} (2 x - 2) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Semplifica $2 \log_{3} (2 x - 2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Passaggio 1.2

Semplifica $- 3 \log_{3} (x - 1)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1^{2}) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.3

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) + 2 (- 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x - 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $2 (x - 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) \cdot 2^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.5

Moltiplica $x - 1$ per ${(x - 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.1

Sposta ${(x - 1)}^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x - 1)) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica ${(x - 1)}^{2}$ per $x - 1$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1}) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2 + 1} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 4.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{3}$ .

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Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 5.1.2

Dividi $(x + 1) \cdot 4$ per $1$ .

$\log_{3} ((x + 1) \cdot 4)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{3} (x \cdot 4 + 1 \cdot 4)$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{3} (4 \cdot x + 1 \cdot 4)$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\log_{3} (4 x + 4)$