Precalcolo Esempi

$2 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $2 \log_{2} (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x) + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.3

Semplifica $27 \log (2)$ spostando $27$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\log (2) \cdot - 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $\log (2)$ e $- 27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - 27 \cdot \log (2)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $- 27 \cdot \log (2)$ spostando $27$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} (\log (134217728) x) + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.7

Moltiplica $\frac{1}{3} (\log (134217728) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riordina $\log (134217728)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \log (134217728) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.7.2

Semplifica $\frac{1}{3} \log (134217728)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.8

Semplifica $\frac{1}{3} \log (134217728)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Riscrivi $134217728$ come $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.9.3.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{1}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.4

Calcola l'esponente.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.5

Riscrivi $134217728$ come $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.6

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.7.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{1}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.9.8

Calcola l'esponente.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Passaggio 1.10

Semplifica $- 2 \log_{2} (x^{3} - x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - \log_{2} ({(x^{3} - x)}^{2})$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{3} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1^{2}))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.4

Applica la regola del prodotto a $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.8

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.8.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.8.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.8.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.1.9

Applica la regola del prodotto a $x (x + 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Passaggio 4

Riordina i fattori in $\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$ .

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + x \log (512) - \log (512)$