Precalcolo Esempi

$\ln (\sqrt{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\sqrt{x} \frac{y}{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Passaggio 3.2

$\sqrt{x}$ e $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x} y}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y$ da $\sqrt{x} y$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x}}{x})$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x})$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Passaggio 5.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Passaggio 5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x})$

Passaggio 5.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x})$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{1}}{x})$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x^{1}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x})$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x^{1}})$

Passaggio 5.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{1}{1})$

Passaggio 5.2.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (1)$

Passaggio 5.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + 0$

Passaggio 6

Somma $\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$