Precalcolo Esempi

$\ln (3 + x) + \ln (2 x - 1) - 2 \ln (x)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((3 + x) (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Espandi $(3 + x) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (3 (2 x - 1) + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\ln (6 x + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\ln (6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (6 x - 3 + 2 x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2.1.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - x) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $x$ da $6 x$ .

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - 2 \ln (x)$

Passaggio 2.3

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - \ln (x^{2})$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x - 3 + 2 x^{2}}{x^{2}})$

Passaggio 4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x^{2}})$

Passaggio 4.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = 5$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{x^{2}})$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $5$ come $- 1$ più $6$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{x^{2}})$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{x^{2}})$

Passaggio 4.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\ln (\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{x^{2}})$

Passaggio 4.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\ln (\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{x^{2}})$

Passaggio 4.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$\ln (\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x^{2}})$