Precalcolo Esempi

$\ln (2) - \ln (y) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (x + y)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Passaggio 2.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \ln (27)$ .

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Passaggio 2.2.1

Riordina $\ln (27)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{3} \ln (27))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (27)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (27^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.3

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(3^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{1})$

Passaggio 2.6

Calcola l'esponente.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3})$

Passaggio 5

$\frac{2}{y}$ e ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y}}{3})$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 7

Combina.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{y \cdot 3})$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y \cdot 3})$

Passaggio 8.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3 y})$