Precalcolo Esempi

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 6) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 36))$

Passaggio 1

Semplifica $2 \ln (x + 6)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 36))$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x}) - \ln (x^{2} - 36))$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 6)}^{2}}{x}}{x^{2} - 36})$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 36})$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 6^{2}})$

Passaggio 5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 6$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Combina.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 1}{x ((x + 6) (x - 6))})$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di ${(x + 6)}^{2}$ e $x + 6$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $x + 6$ da ${(x + 6)}^{2} \cdot 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{x ((x + 6) (x - 6))})$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $x + 6$ da $x ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{(x + 6) (x (x - 6))})$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{(x + 6) (x (x - 6))})$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) \cdot 1}{x (x - 6)})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x + 6$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x + 6}{x (x - 6)})$

Passaggio 7

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{x + 6}{x (x - 6)})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{x + 6}{x (x - 6)})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 6}{x (x - 6)}$ .

$\ln (\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{3}}}{{(x (x - 6))}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 8.2

Applica la regola del prodotto a $x (x - 6)$ .

$\ln (\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})$