Precalcolo Esempi

$\frac{1}{3} \cdot (\ln (x - 2) + 2 \ln (x + 2) - \ln (x + 2) - 5 \ln (x - 1))$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 2) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - 5 \ln (x - 1))$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \ln (x + 2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2}) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - 5 \ln (x - 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica $- 5 \ln (x - 1)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2}) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln ({(x - 1)}^{5}))$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2} \frac{x - 2}{x + 2}) - \ln ({(x - 1)}^{5}))$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{2} \frac{x - 2}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Passaggio 5

${(x + 2)}^{2}$ e $\frac{x - 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Passaggio 6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Riduci l'espressione $\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) (x - 2)}{1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Passaggio 6.2

Dividi $(x + 2) (x - 2)$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})$

Passaggio 7

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}}$ .

$\ln (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 8.2

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 9

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{5 (\frac{1}{3})}})$

Passaggio 9.2

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{5}{3}}})$