Precalcolo Esempi

$\sec^{2} (x) = 2 \tan (x)$

Passaggio 1

Sostituisci $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 2 \tan (x)$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\tan^{2} (x) + 1 = 2 \tan (x)$

Passaggio 3

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 1 = 2 (u)$

Passaggio 4

Sottrai $2 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 1 - 2 u = 0$

Passaggio 5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1

Rimetti in ordine i termini.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 5.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 6

Poni $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 7

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 8

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 10

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 11

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 12

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 12.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 12.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 12.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 12.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 13

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 13.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 13.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 14

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$