Precalcolo Esempi

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Passaggio 1

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 1$ e $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Trova $| z |$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Passaggio 5.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Passaggio 5.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Passaggio 5.7.4

Somma $1$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.11

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.11.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.11.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.11.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.11.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.11.5

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.11.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.11.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.11.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.11.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.11.6.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Passaggio 7

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = \frac{7 π}{6}$ e $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$